LXVII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
Na tablicy napisano liczbę całkowitą dodatnią n. W każdym kroku zmazujemy liczbę napisaną na tablicy i piszemy nową liczbę. Jeśli liczba n jest parzysta, to piszemy na tablicy liczbę n/2. Jeśli liczba n jest nieparzysta, to wybieramy jedną z liczb 3*n+1, 3*n-1 i piszemy ją na tablicy. Czy ? niezależnie od tego, jaką liczbę napisano na tablicy na początku ? możemy, po skończenie wielu krokach, uzyskać na tablicy jedynkę?
Dyskusja zadania.
Po pierwsze zaglądamy na naszą stronę i czytamy o problemie Collatza. Poszerzamy naszą wiedzę o informację z Internetu. Jak widać, jeśli wybieramy zawsze 3*n+1 to w końcu otrzymamy 1 (chyba). Wybierajmy więc zawsze 3*n-1 i sprawdzamy, że już dla początkowej liczby 5 nie otrzymamy 1. Oto kolejne kroki: 5, 14, 7, 20, 10, 5 i tak dalej w kółko!
Czy wybierając 3n-1 otrzymamy inne cykle? Szkoda, że dotychczas nie udowodniono hipotezy 3n+1! A może uda się udowodnić, że biorąc zawsze 3n-1 dochodzimy do mniejszych liczb? A co się stanie jeśli dopuścimy do rozważań liczby ujemne?
Czas na próby
Weźmy liczbę dowolną kiczbę nieparzystą np. 7 i zastosujmy regułę 3n+1: 3·7+1=22, po podzieleniu przez 2 otrzymamy 11 czyli więcej niż liczba wejściowa (7). Zastosujmy w takim razie regułę 3n-1: 3·7-1=20, można dzielić aż przez 4 więc otrzymamy 5, mniej niż liczba wejściowa! Ponieważ ciąg malejących liczb nieparzystych kończy się zawsze jedynką więć to jest dobra droga do rozwiązania problemu.
Przez odpowiednie stosowanie reguł 3n ±1 otrzymujemy liczby coraz to mniejsze! I to jest rozwiązanie. Nawet zadanie olimpijskie nie jest trudne