Zaloguj się

Zarejestruj się

Zapomniałem hasła!

Układanie kart

Sprawdź, czy można ułożyć karty jedna na drugiej tak, aby ostatnia wystawała poza pierwszą w stosie.

Już pierwsza próba z piecioma kartami jest udana! W takim razie postawmy następne pytanie: Czy jest możliwe takie ułożenie aby ostatnia karta wystawała, utworzyła nawis, na pięć (lub więcej) kart?

Troszkę trzeba będzie się natrudzić, żeby to wykonać. Ponadto trzeba użyć raczej bardzo wielu kart.

Rozwiązanie

Ułożenia kart, jak w zadaniu jest możliwe, pod warunkiem, że środek ciężkości całego słupka nie wychodzi poza obręb podstawy, czyli poza pierwszą kartę. Jest to znany od tysiącleci warunek równowagi ciał.

Zacznijmy od końca. Ostatnia karta musi wystawać mniej niż o połowę za kartę drugą od końca.

Na rysunku pionowa linia przerywana przechodzi przez środek ciężkości (x), widać że przedostatnia karta może być przesunięta nie więcej niż o 1/2 długości względem poprzedniej.

Trzymając się zasady, że środek ciężkości nie może wychodzić poza pierwszą kartę mamy sytuację jak na poniższym rysunku.

Jak widać z konstrukcji mamy tutaj do czynienia z kolejnymi przesunięciami o 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 itd. Jesli więc suma przesunięć:

1 + 1/2+ 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
będzie większa od 5 to operacja uda się, tylko jak sprawdzić, czy ta suma będzie kiedykolwiek większa od 5?

Obliczenie sumy

Do takich rzeczy mamy przecież komputer.
Ile odwrotności chcesz zsumować?

suma:

Po kilku próbach znajdujemy, że dla 83 suma przewyższa 5 (5.002068272680166...), czyli dla takiej ilości kart ostatnia bedzie przesunięta poza pierwszą o 5 długości, a dla 12367 kart nawis osiągnie 10 długości.

Jeśi każda karta ma grubość około pół milimetra to stosik będzie sobie liczył około 6 m a ciężar też będzie nielada (ok. 50 kg)! Chyba to wszystko przewróci się zanim ustawi się taką wieżę!
Zobacz skrypt.