Zaloguj się

Zarejestruj się

Zapomniałem hasła!

2014-06-15 14:12:51 Autor: Marta Kępska

Nr pytania 6, fizyka, dynamika

Zgodnie z definicjami w żadnym z przypadków prędkość średnia nie jest średnią arytmetyczną prędkość chwilowych.

2014-06-16 14:05:04 Autor: Seweryn Węgielnik

Nr pytania 6, fizyka, dynamika

Czyżby?

Jeśli chwila to 1 sek i ciało porusza się z prędkością 1m/s a po chwili z prędkością 2m/s, to przebywa 3 m w ciągu 2 sek, więc prędkość średnia wynosi 3 m /2 s = 1,5 m/s czyli tyle ile średnia arytmetyczna 1 m/s i 2 m/s: (1m/s+2m/s)/2

Wygląda na to, że prędkość srednia jest zawsze średnią arytmetyczną prędkości chwilowych!

2014-06-16 14:46:19 Autor: Seweryn Węgielnik

Nr pytania 6, fizyka, dynamika

Udowadnię, że prędkość średnia jest zawsze średnią arytmetyczną prędkości chwilowych!

Niech ciało porusza się z prędkością V, w chwili ti ma prędkość V(ti). Przyjmujemy malutki przedział czasu τ.
Obliczmy drogę S przebytą przez ciało: S = Σon V(ti) · τ, gdzie symbol Σ V(ti) oznacza sumowanie po wszystkich i, n ilość rozpatrywanych chwil.
Z definicji prędkości średniej
Vśr  = 
Scałkowita
t
mamy:
Vśr  = 
Σ V (ti) · τ
Σ τ
wyciągając w liczniku i mianowniku τ przed nawias i skracajęc mamy:
Vśr  = 
(Σ V (ti)) · τ
(Σ 1) · τ
(dlaczego napisałem Σ 1)? czyli:
Vśr  = 
Σ V (ti)
n
ponieważ Σ 1 = n.

Prędkość średnia jest zawsze średnią arytmetyczną prędkości chwilowych, hura!

Oczywiście w naszym zadaniu prędkość średnia nie jest (100+50)/2 bo prędkości 100 km/godz i 50 km/godz nie są prędkościamiu chwilowymi! Są to prędkości średnie na odcinku 100 km!

Notacja sumacyjna

Przypuśćmy, że musimy ładnie zapisać taką sumę:

1 + 4 + 4 + 5 + 67

Najpierw liczymy ilość składników n, w naszym przykładzie 5, czyli n = 5. Każdy składnik sumy oznaczamy jakąś literką (np. a) z numerem składnika: a1 = 1, a2 = 4, a3 = 4, a4 = 5, a5 = 67. Sumę zapisujemy tak:

i = 5
Σ ai
i = 1
lub

5
Σ ai
1
można i tak:

Σ ai
i
lub, po prostu
Σ ai
Przykład:
Σ n = 1 + 2 + 3 +... 325
0 < n <326
i = ∞
Σ 2i = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
i = 0